已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2+2n.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式...
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发布时间：2024-10-24 17:46
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时间：2024-11-01 20:56
（Ⅰ）∵Sn=n2+2n，
∴当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2+2n-[（n-1）2+2（n-1）]=2n+1，
当n=1时，a1=3，也符合上式，
∴an=2n+1；
（Ⅱ）由题意知bn=2bn-1+1，∴bn+1=2（bn-1+1）（n≥2），
∴bn+1bn?1+1=2
∵b1+1=2，∴{bn+1}是2为首项，2为公比的等比数列，
∴bn+1=2?2n-1=2n．
∴bn=2n-1．
（Ⅲ）∵cn=an（bn+1）=（2n+1）?2n，
∴Tn=c1+c2+…+cn
=3×2+5×22+7×23+…+（2n+1）?2n，①
2Tn=3×22+5×23+…+（2n-1）?2n+（2n+1）?2n+1，②
①-②得：-Tn=3×2+23+24+…+2n+1-（2n+1）?2n+1
=2(1?2n+1)1?2-（2n+1）?2n+1
=2n+2-（2n+1）?2n+1-2，
∴Tn=（2n-1）×2n+1+2．
