(二)三角函数(Trigonometric Functions)基础知识总结

发布网友 发布时间：2024-10-24 03:04

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热心网友 时间：2024-10-24 10:42

《数学手册》第二章函数部分涵盖了初等函数、多项式函数、有理函数、无理函数、指数与对数函数、三角函数、双曲函数和逆双曲函数。三角函数作为雷达信号处理中几何模型和信号模型的基石，本节将聚焦介绍三角函数的基础知识。

三角函数的定义域采用角度或弧度表示。接下来，让我们分步骤了解几种基本的三角函数。

基本概念

正弦函数表达式为 [公式]。该函数曲线与x轴的交点、斜率、极值点坐标和值域分别定义为 [公式]。一般正弦函数表达式为 [公式]，其中幅度为 [公式]，角频率为 [公式]，相位为 [公式]。与x轴的交点坐标为 [公式]。

余弦函数表达式为 [公式]。其与x轴的交点、斜率和极值点坐标分别对应于 [公式]。一般余弦函数表达式为 [公式]。

正切函数表达式为 [公式]。其渐近线、与x轴的交点坐标和交点处切线斜率以及周期性分别定义为 [公式]。

余切函数表达式为 [公式]。其渐近线、与x轴的交点坐标、交点处切线斜率以及周期性定义为 [公式]。

正割函数表达式为 [公式]。其渐近线、极大值、极小值点坐标、值域及其周期性分别为 [公式]。

余割函数表达式为 [公式]。其渐近线、极大值、极小值点坐标、值域及其周期性定义为 [公式]。

函数的范围和性质

将六个三角函数在[公式]区间内同时绘制，包括四个象限，可观察到这些函数的定义域与值域，以及函数符号与输入所在象限的关系。特定角度对应三角函数值也有所展示。

三角函数是周期函数，当角度大于周期时，可以转化为周期内角度进行计算。输入角度为负时，可以转化为正值进行计算。当角度在0到90度时，可以直接计算。若以弧度给出，可利用下式进行转化。

三角函数重要公式

三角函数之间关系如图所示。当角度在0和90度之间时，重要的转化关系如图所示。

将和差角度展开，如图所示。

倍角公式如图所示。对于大的倍角，利用de Moivre公式结合二项定理，有。

半角公式如下，需根据半角所在象限确定平方根的正负号。

和差化积公式如图所示。

积化和差公式如图所示。

三角函数的幂性质如图所示。

振荡描述

在工程和物理学中，人们遇到的量依赖于时间，如正弦量。这些量的依赖性导致谐波振荡。上式也可以写成 [公式]。

两个同频率振动叠加，形成同频率的谐波震荡，表达式为 [公式]。多个同频正弦波的线性组合产生同频正弦函数。

阻尼振荡曲线的函数表达式为 [公式]。曲线沿t轴震荡，渐进接近t轴，正弦曲线被指数曲线包围。

反三角函数

反三角函数是三角函数的逆函数，分为多个单调区间，在每个区间内定义。下图展示了反正弦、余弦、正切和余切函数。

以反正弦三角函数为例，表示为 [公式]。定义域与值域关系如图所示。

当k=0时，对应主值。反三角函数对应主值区如图所示。其它反三角函数值可通过主值计算。

详细关系如图所示。

处理负值输入的步骤如图所示。

反正弦和差运算方法如图所示。

反余弦和差运算方法如图所示。

反正切和差运算方法如图所示。

它们之间存在特殊关系，如图所示。

总结讨论

本节概述了三角函数的基础知识，为查阅相关公式提供了工具。

参考文献

[1]. 百度翻译
[2]. 《Handbook of Mathematics》chapter 2 Functions