...lgb2+…+lgbnn(n∈N*),证明:{an}为等差数列的充要条
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发布时间：2024-10-24 00:15
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时间：9小时前
证明：充分性：若{bn}为等比数列，设公比为q，则an=nlgb1+lg(q?q2qn?1)n=nlgb1+lgqn(n?1)2n=lgb1+（n-1）lgq^12，an+1-an=lgq^12为常数，
∴{an}为等差数列．
必要性：由an=lgb1+lgb2++lgbnn得nan=lgb1+lgb2++lgbn，（n+1）an+1=lgb1+lgb2++lgbn+1，
∴n（an+1-an）+an+1=lgbn+1．
若{an}为等差数列，设公差为d，
则nd+a1+nd=lgbn+1，
∴bn+1=10^a1+2nd，bn=10^a1+2(n?1)d．
∴bn+1bn=102d为常数．
∴{bn}为等比数列．
