三体问题问题趣闻
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发布时间：2024-10-23 22:43
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数学家庞加莱在研究微分方程时提出了新的数学工具和理论，彻底改变了人们研究微分方程的基本想法。他发明了不变积分、回归定理、第一回归映象等概念，并引入了特征指数和解的连续依赖性等基本概念。此外，庞加莱通过研究渐进解、同宿轨道和异宿轨道，发现了混沌现象，这是混沌理论的最早起源。
庞加莱的研究成果在天体动力学领域具有里程碑意义。他在1888年提交的论文在六个月后被宣布为获胜者，预言这篇论文将开启天体力学的新纪元。然而，在论文印刷后，庞加莱发现了一些证明不清的地方，他开始修改并通知出版商销毁已印出的版本。最终，经过修改的论文在1890年十月问世，版本从158页增加到270页。
庞加莱对混沌理论的贡献是他对同宿交错网的发现。然而，由于当时社会对于科学技术进展的乐观态度和对自然界基本哲学的局限，庞加莱可能在著作中未详细阐述这一想法。尽管如此，庞加莱被认为是第一个有混沌理论基本想法的人。在科学史上，庞加莱还被认为最有能力创造狭义相对论，但最终这一理论由爱因斯坦提出。
历史上，庞加莱和庞勒维同时代的另一位法国数学家庞勒维对N体问题中奇点的研究做出贡献。庞勒维在数学上不如庞加莱有名，但他在法国政府担任过内阁部长，并曾两度出任法国总理。他与瑞典国王奥斯卡二世的相遇成为数学史上一段佳话。庞勒维证明了在三体问题中，奇点必须是碰撞解，爆破不可能在三体问题中出现。但他在笔记中猜测，当N大于三时，N体问题存在非碰撞的奇点解，这就是著名的庞勒维猜想。
冯泽培尔在1908年的论文中证明，如果N体问题存在非碰撞的奇点解，则质点间相互距离必须在有限时间内变得无界，即爆破一定会发生。萨瑞在1971年将这一结果推广到：如果有非碰撞的奇点解，质点必须有强烈的振荡。六十年代到八十年代，许多数学家构造出N体问题的特殊解，其中有些解具有强烈的振荡性，但它们仍然不是真正的非碰撞的奇点解。
1975年，马瑟尔和麦吉尔构造了一个共线的四体问题的解，这个解确实会在有限时间内出现碰撞。
对非碰撞奇点问题的探索始于庞勒维，经过近百年数学家的努力，这一问题在八九十年代终于被中国数学家夏志宏解决。夏志宏在1982年毕业于南京大学天文学系，后在美国西北大学从事N体问题研究。他的重要贡献在于找到了一个五体问题的解，该解在有限时间内产生非碰撞奇点。这一发现最初因存在缺陷而受到质疑，但在经过多次修改后，最终被“数学年刊”接受，标志着庞勒维猜想的彻底解决。夏志宏在解决这一问题后，继续在动力系统领域做出重要贡献，成为国际领袖人物之一。
值得一提的是，在夏志宏论文的后期修改阶段，另一位美国数学家哥维尔(Jo)也独立验证了这一发现的正确性。
塞普·杰弗在听到夏志宏的成功后深受鼓舞，他多年的研究也终于在几个月后结出果实。杰弗的例子与夏志宏的完全不同，他构建了一个系统，包含3N个对称排列在平面上的质点。尽管N的大小未知，但这一成就使得庞勒维猜想在科学真理殿堂前迎来了两种迥异的完整答案。在这一过程中，天体力学和动力系统的理论得到了极大发展。
尽管N体问题的庞勒维猜想在世纪之交已被解决，但问题本身仍有许多未解之谜，值得新世代的数学家探索。例如，法国数学家陈思纳和美国数学家蒙哥马利最近发现了三个质点在一个平面8字形轨道上周期运动的解，进一步的计算机模拟揭示了更多具有各种奇特轨道的周期解。
一本关于N体问题历史、进展和数学发展过程的详细通俗读物是美国普林斯顿大学出版社1996年出版的《天体的邂逅，稳定性和混沌的起源》（Celestial Encounters, the origins of chaos and stability），由Florin Diacu和Philip Holmes合著。对于本文所涉及的内容，此书提供了深入且易懂的介绍，并涵盖了本文未提及的符号动力系统与混沌、天体运动的稳定性问题和著名的KAM理论。大学理工科学生完全有能力理解此书，从而了解20世纪数学和天体力学的重要进展，以及N体问题这一基本物理问题的初步概念。
关于庞加莱在三体问题上的工作，读者可参考美国数学会和伦敦数学会1997年联合出版的《庞加莱和三体问题》（Poincar\'{e} and the three body problem），由June Barrow-Green撰写。这本书提供了原始历史资料和更多历史趣事。关于庞勒维猜想及夏志宏的解决方法，读者亦可参阅两篇英文短文[2]和[6]，本文内容多源于上述参考文献。
