对圆均匀分布在区间[a,b]上,求圆的面积的数学期望的直径做近似测量其直...
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发布时间：2024-10-23 22:03
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时间：8小时前
这道题也不是很清楚
是圆心分布在[a,b]上还是圆本身？
想象不出圆本身怎样均匀分布。。
但是如果是圆心坐标的话，那么比如说以[a,b]上的随机一点为圆心，其半径的大小分布呢？按照题意，是说这个半径不能超过[a,b]的范围么？假设确实是这样理解，圆面积的期望有希望能算出来，但是后面近似测量直径是什么意思呢？先算期望，然后算出用期望的那个面积对应的直径？
按照上面的理解，试做了一下，基本思路还算比较清晰
(a,0)(b,0)
圆心为(x,0)
假设圆的半径也是均匀分布，而且不能超出(a,b)的范围，那么有
当a<x<(b+a)/2（a,b中点）
0<r<(x-a)
当(b+a)/2<x<b
0<r<(b-x)
圆面积y=πr^2
即求期望E(y)
也就是求E(r^2)=∫r^2f(r)dr=∫r^2f1(r)dr+∫r^2f2(r)dr（分成两段积分）
已知f1(r|X=x)=1/(x-a)
f1(r)=∫1/(x-a)dx (从a积到(b+a)/2)
同样有f2(r)=∫1/(b-x)dx (从(b+a)/2积到b)
剩下就是计算了
最后别忘了乘上π
如果是只要求估算直径，那么直接求E(r)即可：
E(r)=∫rf(r)dr=∫rf1(r)dr+∫rf2(r)dr
