已知曲线C:f(x)=x3-ax+a,(Ⅰ)若f(x)在区间[1,2]上是增函数,求实数a的...
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发布时间：2024-10-11 20:06
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时间：2024-10-12 14:37
（Ⅰ）函数f（x）的导数为f'（x）=3x2-a，
因为f（x）在区间[1，2]上是增函数，
所以f'（x）≥0在区间[1，2]上恒成立．
即a≤3x2恒成立．
因为当1≤x≤2时，
3x2≥3，
可得a≤3．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f'（x）=3x2-a，过点A（1，0）作曲线C的切线，
设切点（x0，f（x0）），
则切线方程为：y=（3x0-a）（x-1）
因为f(x0)＝x30?ax0+a，
所以将（x0，f（x0））代入得：
f(x0)＝x30?ax0+a=（3x0-a）（x0-1），
整理得2x30?3x0＝0 （*）
解得x0=0或x0=32
故满足条件的切线只有两条，且它们的斜率分别为-a与274?a，
因为两条切线的倾斜角互补，
所以?a+274?a＝0，
解得a＝278．
