摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost)的一拱,与横轴
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发布时间：2022-04-22 07:51
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热心网友
时间：2022-06-18 02:19
S＝∫[0≤t≤2π]a(1-cost)d[a(t-sint)]
＝a²∫[0,2π]｛（1-cost）²｝dt
＝a²[t+t/2+（sin2t）/4+2sint]|[0,2π]值差
＝3a²π（面积单位）
（摆线又叫旋轮线.是一个圆（半径a）切于 x轴.切点（0,0）.这个点在圆周
上为A.圆延x轴滚动.A点的轨迹即旋轮线.t是OA（O是圆心）对于原始位置的转
角.旋转一周正好形成一拱.）
热心网友
时间：2022-06-18 02:20
付费内容限时免费查看回答由摆线x=a(t - sint),y=a(1 -cost)的一拱（0≤t≤2π) 与横轴所围图形的面积为3π*a^2。
解：根据定积分求面积公式，以x为积分变量，
可得摆线的一拱与横轴所围图形的面积S为，
S=∫|y| dx=∫a(1 -cost)d(a(t - sint))
=∫a^2(1 -cost)^2dt
又由于摆线的一拱内，0≤t≤2π，所以面积为，
S=∫(0,2π)a^2*(1 -cost)^2dt
=a^2*∫(0,2π)(1-2cost+(cost)^2)dt
=a^2*∫(0,2π)1dt-2*a^2*∫(0,2π)costdt+a^2*∫(0,2π)(cost)^2dt
=a^2*∫(0,2π)1dt-2*a^2*∫(0,2π)costdt+1/2*a^2*∫(0,2π)(1+cos2t)dt
=3/2*a^2*∫(0,2π)1dt-2*a^2*∫(0,2π)costdt+1/2*a^2*∫(0,2π)cos2tdt
=3/2*a^2*(2π-0)-2*a^2*(sin2π-sin0)+1/4*a^2*(sin4π-sin0)
=3π*a^2
扩展资料：
x=r*(t-sint)； y=r*(1-cost)r为圆的半径， t是圆的半径所经过的弧度（滚动角），当t由0变到2π时，动点就画出了摆线的一支，称为一拱。
有一发生圆（滚圆）半径为rp'，基圆半径为rc'，基圆内切于发生圆，当发生圆绕基圆作纯滚动，其圆心Op分别处于Op1、Op2、Op3、Op4、Op5、Op6......各位置时，由此固结在发生圆平面上的点M分别经过M1、M2、M3、M4、M5、M6......各位置，由此发生圆周期滚动，发生圆上点M所形成的轨迹曲线即为短幅外摆线。
