数学代数，关于商群的简单问题。。。
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发布时间：2022-04-20 08:07
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时间：2023-08-30 18:32
设G是群, ,G不一定是交换群,故 ,左陪集与右陪集不一定相同,即不一定有
例：令 , ,取 ,则
显然
令 为G关于H的所有左陪集的集合,也是H在G上建立等价关系所得到的剩余类的集合,定义继承群G的乘法：
上述定义不是良性的,即可能存在 ,但
例：令 , ,在 上定义乘法
,即
定理：设G是群, ,则 定义的乘法是良性的当且仅当 ,有
证明：
定义：设 是群, ,若 ,有 ,即 ,则称H为G的正规子群,记作
设 是群,e为群G的单位元,易证 和G都是群G的正规子群,称为G的平凡正规子群
注：交换群的任意子群是正规子群
例：
1. 不是 的正规子群
2.设 , ,则 关于H的所有左陪集为
关于H的所有右陪集为
显然
定理：设G是群, , ,定义集合 ,则 ,有
定理：设G是群, ,令 ,在 上定义乘法 ,则 关于该乘法构成一个群
证明：
定义：设G是群, ,称 为G关于N的商群
引理：设 分别是 的单位元,f是群G到 的同态,则
证明：
引理：设 是同态映射,则 ,有
证明：
设G是群, ,易证映射 是一个满同态,称为典范同态
设 是同态,集合 称为映射f的核
易证Ker(f)是G的子群
定理：设 是满同态,则 ,且
证明：
