人教A版2020届高考数学二轮复习讲义及题型归纳：立体几何第一章 空间直线、平面平行垂直(基础)

目录 ...................................................................................................................................................1 第一章空间直线、平面平行垂直 ...................................................................................................2

一、考纲解读 ...........................................................................................................................2 二、命题趋势探究 ...................................................................................................................2 三、知识点精讲 .......................................................................................................................2

(一).直线和平面平行 ...............................................................................................2 (二).两个平面平行 ...................................................................................................3 (三).线面垂直 ...........................................................................................................5 (四).斜线在平面内的射影 ........................................................................................7 (五).平面与平面垂直 ................................................................................................8

四、思路小结 ........................................................................................................................ 10

(一).线线平行、线面平行、面面平行的转换如图0所示. ................................ 10 (二).证明空间中直线、平面的垂直关系 ............................................................. 10

五、解答题题型总结 ............................................................................................................ 12

核心考点一：平行证明 ........................................................................................ 12 核心考点二：垂直证明 ........................................................................................ 14

第一章空间直线、平面平行垂直 一、考纲解读

1．要理解空间直线和平面各种位置关系的定义.

2．以立体几何的定义，公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定，理解其判定定理与性质定理. 二、命题趋势探究

有关平行的问题是高考的必考内容，主要分为两大类：一类是空间线面关系的判定和推理；一类是几何量的计算，主要考查学生的空间想象能力，思维能力和解决问题的能力. 平行关系是立体几何中的一种重要位置关系，在高考中，选择题、填空题几乎每年都考，难度一般为中档题，且常常以棱柱、棱锥为背景.

（1）高考始终把直线与平面、平面与平面平行的判定与性质作为考查的重点，通常以棱柱、棱锥为背景设计命题.考查的方向是直线与平面、平面与平面的位置关系，结合平面几何有关知识考查.

（2）以棱柱、棱锥为依托考查两平行平面的距离，可转化为点面距离，线面距离和两异面直线间的距离问题，通常是算、证结合，考查学生的渗透转化思想. 三、知识点精讲 (一).直线和平面平行 1．定义

直线与平面没有公共点，则称此直线l与平面平行，记作l∥ 2.判定方法(文字语言、图形语言、符号语言)（见表8-9） 表8-9

线∥线文字语言 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（简记为“线线平行图形语言 符号语言 线∥面 l∥l1l1l∥ l 线面平行 面∥面如果两个平面平行,那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面 线∥面 ∥a∥ a3.性质定理(文字语言、图形语言、符号语言)（见表8-10） 表8-10 文字语言 图形语言 符号语言 线∥面线∥线 如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平行 ll∥l Ill∥(二).两个平面平行 1．定义

没有公共点的两个平面叫作平行平面,用符号表示为:对于平面和,若I,则∥

2.判定方法(文字语言、图形语言、符号语言)（见表8-11） 表8-11 判定定理线∥面面∥面 文字语言 如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行（简记为“线面平行面面平行 线面如果两个平面同垂直于一条直线,那么这两个平面平行 3.性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）（见表8-12） 表8-12 文字语言 如果两个平面平面//面 线//面 行，那么在一个平面中的所有直线都平行于另外一个平面 如果两个平行平面同时和第三个性质定理 平面相交，那么他们的交线平行（简记为“面面平行 图形语言 符号语言 a∥，b∥∥ 图形语言 符号语言 a,b,aIbP 面∥面 l∥ l//a// a//Iaa//b. Ib线面平行”） 如果两个平面中面//面 线面 有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线 //l l(三).线面垂直

1.定义：如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂直.

2.判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）（见表1）

表1

文字语言 一条直线与一个平面内的两条相判断定理 交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 两个平面垂直，则面⊥面⇒ 线⊥面 在一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 _ 图形语言 符号语言 _ aa,ballblaIbP ab b ba一条直线与两平平行与垂直的关系1 行平面中的一个平面垂直，则该直线与另一个平面也垂直 两平行直线中有平行与垂直的关系2 一条与平面垂直，则另一条直线与该平面也垂直

 _ a _ //a a_ ba//bb a 3．性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）（见表2）

表2

文字语言 图形语言 _ a_ b符号语言 aa//b ba//性质定理 垂直于同一平面的两条直线平行 

文字语言 垂直于同一直线的两个平面平行 图形语言 _ 符号语言 垂直与平行的关系 a// a 线垂直于面的性质 如果一条直线垂直于一个平面，则该直线与 l,ala 平面内所有直线都垂直 (四).斜线在平面内的射影 1.斜线的定义

一条直线与一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和这个平面的交点叫做斜足. 2.射影的定义

过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.

3.直线与平面所成的角

平面内的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.

特别地，一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，



0,02. 或在平面内，我们说它们所成的角是0的角，故直线与平面所成的角的范围是

如图8-122所示，PA是平面的斜线，A为斜足；PO是平面的垂线，O为垂足；AO是PA在平面的射影，PAO的大小即为直线PA与平面所成的角的大小.

(五).平面与平面垂直 1.二面角的定义

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.

这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面；如图8-123所示，在二面角

l的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的AOB叫做二面角的平面角，二面角的范围是

0,.平面角是直角的二面角叫做直二面角.

2.平面与平面垂直的定义

如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的

CD，IBE，两条交线互相垂直（如图.8-124所示，若ICD，且IAB，

ABBE，则）

一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.

3.判定定理（文字语言、图形语言、符号语言） 判定定理 文字语言 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 4.性质定理（文字语言、图形语言、符号语言） 性质定理 文字语言 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直

_ _ 图形语言 符号语言 b b 图形语言 _ a符号语言 ab bba 四、思路小结

(一).线线平行、线面平行、面面平行的转换如图0所示.

判定 线∥线 线∥面 性质 判定 性质 图 0

性质 判定 面∥面

（1） 证明直线与平面平行的常用方法：

①利用定义，证明直线a与平面没有公共点，一般结合反证法证明；

②利用线面平行的判定定理，即线线平行线面平行.辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面，同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段；

③利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行； （2） 证明面面平行的常用方法：

①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合； ②利用面面平行的判定定理； ③利用两个平面垂直于同一条直线； ④证明两个平面同时平行于第三个平面.

1利用直线和平面平行的判定定理；2利用平行公理； （3） 证明线线平行的常用方法：○○(二).证明空间中直线、平面的垂直关系

判定定理判定定理面面 线线线面性质定理性质定理（1）证明线线垂直的方法 ①等腰三角形底边上的中线是高； ②勾股定理逆定理； ③菱形对角线互相垂直； ④直径所对的圆周角是直角； ⑤向量的数量积为零；

⑥线面垂直的性质（a,bab）； ⑦平行线垂直直线的传递性（ac,a∥bbc）. （2）证明线面垂直的方法 ①线面垂直的定义；

②线面垂直的判定（ab,ac,c,b,bIcPa）； ③面面垂直的性质（,Ib,ab,aa）； 平行线垂直平面的传递性（a,b∥ab）； ⑤面面垂直的性质（,,Ill）. （3）证明面面垂直的方法 ①面面垂直的定义；

②面面垂直的判定定理（a,a）.

空间中的线面平行、垂直的位置关系结构图如图3所示，由图可知，线面垂直在所有关

线∥面 性质 判定 线∥线 性质 判定 判定 性质 面∥面 线⊥线 判定 性质 线⊥面 图 3

判定 性质 面⊥面 系中处于核心位置. 五、解答题题型总结

核心考点一：平行证明

【例1】 ⑴如图1，三棱锥DABC中，E、F、O分别是AD、BD、AC的中点，G是OC的

中点；求证：FG∥平面BOE．

⑵如图2，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB4，

BCCD2，AA12，E、E1、F分别是棱AD、AA1、AB的中点．

证明：直线EE1∥平面FCC1．

D1C1B1DECDEFABOGCA1E1DEHFOBGC

AFB

A图1 图2 【解析】 ⑴ 设BE和AF交于点H，连接OH， 在三角形△ABD中，E、F分别是AD、BD的中点，

所以H为重心，AH2， AF3又O为AC中点，G是OC的中点，所以AOAG23， 在△AFG中，AHAF2AO3AG， 所以HO∥FG，又FG不在平面BOE内，HO平面BOE，所以FG∥平面BOE． ⑵ 法一：

取A1B1的中点F1，连结FF1，C1F1， 由于FF1∥BB1∥CC1，所以F1平面FCC1， 因此，平面FCC1即为平面C1CFF1， 连结A1D，F1C，由于A1F1∥D1C1∥CD， 所以四边形A1DCF1为平行四边形，

因此A1D∥FC1．又EE1∥A1D，得EE1∥FC1， 而EE1平面FCC1，F1C平面FCC1， 故EE1∥平面FCC1． 法二：

因为F为AB的中点，CD2，AB4，AB∥CD， 所以CD∥AF，因此四边形AFCD为平行四边形， 所以AD∥FC．又CC1∥DD1，FCICC1C，

FC平面FCC1，CC1平面FCC1，

D1C1AF11B1EDC1EAFB所以平面ADD1A1∥平面FCC1，

又EE1平面ADD1A1，所以EE1∥平面FCC1．

【例2】在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，E是PC的中点．求证：PA∥平面BDE．

PECDAB原图：

【解析】 连结AC，设AC交BD于O，连结EO， ∵底面ABCD是平行四边形， ∴点O是AC的中点． 在△PAC中，EO是中位线， ∴PA∥EO．

∵EO平面BDE，且PA平面BDE， ∴PA∥平面BDE．

PECDOAB核心考点二：垂直证明

【例1】若l、m、n是互不相同的空间直线，、是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（ ）

A．若∥，l，n，则l∥n B．若，l，则l C．若ln，mn，则l∥m D．若l，l∥，则

【解析】 D

【例2】已知m，n是不同的直线，、、是不同的平面，给出下列命题： ①，，则∥； ②若n，n，则∥；

m∥，则α∥β； ③若n，m且n∥，n为异面直线，n，n∥，m，m∥，则∥． ④若m，则其中正确的命题是_______．（把你认为正确的命题序号都填上） 【解析】 ②④

【例3】在正四面体PABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面结论中不成立的是（ ） A．BC∥平面PDF

B．DF平面PAE D．平面PAE平面ABC

C．平面PDF平面ABC 【解析】 C

【例4】PA垂直于正方形ABCD所在平面，连结PB、PC、PD、AC、BD，则下列垂直关系正确的是（ ）

①面PAB面PBC ②面PAB面PAD③面PAB面PCD ④面PAB面PAC A．①② B．①③ 【解析】 A

【例5】如图，在四面体ABCD中，CBCD，ADBD，点E、F分别是AB、BD的中

C．②③ D．②④

点，

求证：⑴直线EF∥平面ACD；⑵平面EFC平面BCD．

BFEDCA

【解析】 ⑴ 易知中位线EF∥AD，而AD面ACD，EF面ACD

∴EF∥平面ACD．

⑵ ∵EF∥AD，ADBD，∴EFBD 又CBCD，F是BD的中点，∴CFBD ∵EFICFF，∴BD面EFC 又BD面BCD，平面EFC平面BCD．

【例6】如图所示，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AEAB2a，

CDa，F是BE 的中点．

⑴求证：DF∥平面ABC；⑵求证：AFBD．

E原图：

FDABC

FM，易知FM∥AB，∴FM∥平面ABC． 【解析】 ⑴ 取AE中点M，连结DM，又AE和CD都垂直于平面ABC，∴AE∥CD，AM∥CD

∵AMAECD，∴AMDC是平行四边形，DM∥AC，∴DM∥平面ABC． 因此平面DFM∥平面ABC．

∵DF平面DFM，∴DF∥平面ABC．

⑵ 连结AD，由AEAB2a，AEAB，F是BE的中点，可得AFBE，且

AF2a，BE22a． E12由CDAC，可得ADCDACa4a5a． 2222MFDA类似的DEDB5a， BC于是DFBD2BF25a22a3a， 2从而AF2DF2AD2，AFDF．

结合AFBE，有AF平面BDE，∴AFBD．