浅谈仿射变换的应用

２０１１年３月　榆林学院学报　ＭＲｔ＂．２０】ｌ　第２１卷第２期　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＹＵ】ＪｌＩＮ　ＵＮＩＶＥＲＳｒｒＹ　Ｖ０１．２ｌ　Ｎｏ．２　浅谈仿射变换的应用　孙珍　（安康学院数学系，陕西安康７２５０００）　摘要：阐述射影几何学中仿射不变性和仿射不变量。对于一些求解有关点线的结合性、线段相等或比　值、平行性、面积等问题，考虑仿射变换使问题简化。　关键词：射影几何；仿射变换；仿射不变性；仿射不变量　中图分类号：０１８５．１文献标志码：Ａ文章编号：１００８—３８７１（２０１１）０２—００２２—０２　１引言　一点Ｃ作ＣＤ垂直ＡＢ于Ｄ，椭圆在Ａ、Ｃ两点的切　研究图形在射影变换下不变的性质的几何叫射　线相交于Ｅ．求证：ＢＥ平分ＣＤ。　影几何，它所处理的是构成几何图形的最根本的定　分析：利用特殊到一般的数学思想能将问题简　性方面和描述方面的性质，而且不用线段与角的度　化，而椭圆可看作特殊图形圆的仿射像，从　量。在经典几何中，射影几何处于一种特殊的地位，　而利用仿射不变性解决该问题。　通过它可以把一些几何联系起来。欧氏几何是射影　证明：椭圆Ｏ可看作圆Ｏ　的仿射变换得到的图　几何的子几何，仿射几何为沟通欧式几何和射影几　Ｔ　何的桥梁。　形：作仿射变换Ｔ，根据仿射变换的性质，圆并Ｏ　一十　２相关定义与定理　椭圆Ｏ，且在仿射变换中保留点线的结合性和平行　Ｔ　定义２．１考虑同一平面内直线ａ到直线ａ　的　性，圆Ｏ　的切线Ｅ　Ａ　和Ｃ　Ｅ　一椭圆切线ＥＡ和ＣＥ．　平行射影．设１为平面上与直线ａ和ａ　都不平行的　如图（２）在圆Ｏ　中：Ｍ　Ｄ　／Ａ　Ｅ　＝Ｂ　Ｍ，／Ｂ　Ｅ　＝Ｆ　Ｃ，／　直线，通过直线ａ上诸点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ分别作ｌ的平行　Ｅ　Ｆ’与Ｍ　Ｃ　／Ｅ　Ｃ　＝Ｆ　Ｂ　／Ｅ　Ｆ　＝Ｆ’Ｃ　／Ｅ　Ｆ　；（Ｅ　Ａ　线，交ａ　于Ａ　、Ｂ　、Ｃ　、Ｄ　…，这样便定义了直线ａ到　＝Ｃ　Ｅ　，Ｆ　Ｃ　＝Ｂ　Ｆ　），所以，即Ｍ　为Ｄ　与Ｃ　的中点．　直线ａ　的一个映射，称为透视仿射。　所以Ｍ为ＣＤ的中点，即ＢＥ平分ＣＤ。　定义２．２经过一切透视仿射不改变的性质和　数量，为仿射不变性和仿射不变量。　定义２．３设为共线三点，这三点的简比定义　＿　、　为下述有向线段的比。　定理２．１　两条商线间的平行性是仿射不变　ｒ　二　。　ｌ　、Ｉ　量。　＼　‘　、、、、　　～　～　一　．一：，　，　，，　定理２．２共线三点的简比是仿射不变量。　定理２．３透视仿射保留同素性和结合性。　图１　定理２．４在仿射变换下，任意两条封闭凸曲　３．２证明线段中点问题例２如图２，梯形两对角线　线所围成的面积之比是仿射不变量。　交于点Ｃ，延长梯形两腰相交于点Ａ，连接ＡＣ交ＥＦ　３仿射变换能使平面凡　中一些问题化难为易。化　于点Ｇ．求证：Ｇ为ＥＦ中点。　繁为简　分析：梯形可看作等腰梯形仿射变换得到。　由仿射不变性和仿射不变量，以及仿射变换保　』　留同素性结合性等性质，从一些图形之间的仿射变　／　ｊ／｛、　　换关系入手，巧妙利用从特殊到一般的数学思想解　、　ｐ　‘　、　决有关问题。　ｒ～～…～　一………　，．　３．１证明有关线段相等问题例１如图１：从椭圆上　图２　收稿日期：２０１０—１０—２８　基金项目：安康学院重点扶持学科《基础数学》（ＡＺＸＺＯ１（１７）；安康学院重点项目（２【ｘｊ８ａｋｘ　１９）　作者简介：孙珍ｒ１９７７一），女．山东齐河人，助教．硕士。Ｅ—ｍａｉｌ：ｚｘｇ９６３０９４＠１６３　ｃｎⅡ１　＿孙珍：浅谈仿射变换的应用　・２３・　证明：如图（２）等腰梯形Ｂ　Ｅ　Ｆ　Ｄ　由于是轴对称图　形，显然Ａ　Ｃ　为轴，点Ｇ　为Ｅ　Ｆ　的中点。而梯ＢＥ—　ＦＤ形可看作由等腰梯形Ｂ　Ｅ～Ｆ　Ｄ　仿射变换得到的：　作仿射变换Ｔ，根据仿射变换的性质，等腰梯形Ｂ　Ｅ　到。　证明：对于等边三角形来说，该结论显然成立。　Ｔ　作仿射变换Ｔ：等边三角形三角形Ａ　Ｂ　Ｃ　ＡＢｃ，Ｑ　Ｔ　Ｔ　Ｔ　Ｆ　Ｄ　－＋梯形ＢＥＦＤ，由线段的中点是仿射不变性，Ｅ　Ｆ　中点Ｇ　一＋ＥＦ中点Ｇ，所以，Ｇ为Ｅ｝　的中点。　３．３计算有关线段比值问题例３如图３Ａ（２，０），Ｂ　（０，１）为两顶点．直线Ｙ＝ｋｘ（ｋ＞０）与ＡＢ交与点　Ｄ，与椭圆交与ＥＦ．若ＥＤ＝６ＤＦ，求ｋ的值。　分析：椭圆看作圆仿射变换后得到的，仿射变　换保留简比不变。　证明：椭圆ｏ：　＋Ｙ。＝１可看作圆ｏ　：ｘ　＋Ｙ　＝　Ｑ，Ａ　Ａ，Ａ　Ａ由仿射变换保留同素性和简　比，三点共线，所以Ｑ　、Ａ　、Ｒ　三点共线。　，　图４　１仿射变换得到的图形：作仿射变换Ｔ：ｘ　＝÷，ｙ　＝　ｙ，根据仿射变换的性质，圆并０　＿＋椭圆０，直线Ｙ　一３．５解决有关面积问题例５如图５，从椭圆外一　点Ｐ引它的切线ＰＡ、ＰＢ：Ａ、Ｂ表示切点．Ｏ是Ｅ的　中心，射线ＯＰ交Ｅ于点Ｃ，证明面积：ｓ＾ｏ　＝Ｓ　。　Ｓ，ｏＰ＝ＳｐｏＢ　直线，Ｙ，Ａ　（１，０），Ｂ　（Ｏ，１）简比不变，．Ｅ　Ｄ　＝６Ｄ　，分析：椭圆可以看作圆的仿射变换得到的仿射　像。　Ｆ，由圆的有关定理计算Ｄ，（　４寻）或Ｄ，（寻，导），　证明：作仿射变换Ｔ：圆０　椭圆Ｏ，Ｐ　Ａ　ＰＡ，　Ｐ　Ｂ　ＰＢ，Ｃ　Ｃ，对于圆来说Ｓ＾０ｃ＝ＳｃｏＢ、Ｓ＾０Ｐ＝　Ｓｐｏ８　，　所以Ｄ（　，手）或Ｄ（　，手）．代ｙ＝ｋｘ入得ｋ＝３８　或ｋ＝　２。　，　，．　图５　图３　３．４解决点共线问题例４如图４，三角形ＡＢＣ中，　Ｐ、Ｍ、Ｎ分别为ＢＣ、ＡＳ、ＡＣ中点，连接ＰＭ并延长至　由于在仿射变换下，任意两条封闭凸曲线所围　成的面积之比是仿射不变量，所以Ｓ＾ｏ　＝Ｓ　。　Ｓ脚　＝ＳＰｏＢ　Ｑ，ＰＮ并延长至Ｒ，使ＭＱ＝ＭＰ，ＮＲ＝ＮＰ．求证：Ｑ、　Ａ、Ｒ三点共线。　分析：三角形可以看作等边三角形仿射变换得　一一能用仿射变换解决的几何问题很多，这里不再　列举，可以看出，该方法的解题思路较为简捷。　参考文献：　［１］朱德祥．高等几何［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００１．　［２］梅向明．高等几何［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０００．　［３］李长明．初等数学研究［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９９５．　［４］赵振威．初等几何研究．［Ｍ］．上海：华东师范大学出版社，２００５．　（责任编辑：邵治亮）　Ｏｎ　ｔｈｅ　Ａｐｐｌｉ￣：ａｔｉｏｎ　０ｆ　Ａｆｆ．ｍｅ　Ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ　ＳＵＮ　Ｚｈｅｎ　（Ａｎｋａｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ａｎｋａｎｇ　７２５０００，Ｓｈａａｎｘｉ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ｅｘｐｏｕｎｄｓ　ｔｈｅ　ｐｒｏｊｅｃｔｉｖｅ　ｇｅｏｍｅｔｒｙ　ｉｎ　ｓｈａｐｉｎｇ　ｔｈｅ　ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ　ｏｆ　ｒａｄｉａｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｕｎｖａｒｉａｂｌｅｓ．Ｆｏｒ　ｓｏｍｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｌｉｎｅ　ｔｏ　ｄｉｖｉｄｅ，ｅｑｕａｌ　ｏｒ　ｒａｔｉｏ，ｐａｒａｌｌｅｌ，ａｒｅａ，ｉｔ　ｃｏｎｓｉｄｅｒｓ　ａｎ　ａｆｉｆｎｅ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ　ｔｏ　ｓｉｍｐｌｉｆｙ　ｔｈｅ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｐｒｏｊｅｃｔｉｖｅ　ｇｅｏｍｅｔｒｙ；ａｆｉｆｎｅ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ；ａｆｆｉｎｅ　ｉｎｖａｒｉｎｔａ　ｆｅａｔｕｒｅｓ；ａｆｉｆｎｅ　ｉｎｖａｒｉｎｔａ