Koch曲线的Hausdorff测度的估计值的改进

第９卷第１２期　南阳师范学院学报　Ｖ０１．９　Ｎｏ．１２　２０１０年１２月　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｎａｎｙａｎｇ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｄｅｃ．２０１０　Ｋｏｃｈ曲线的Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ测度的估计值的改进　时金金，程值军　（延安大学西安创新学院理工系，陕西西安７１０１００）　摘要：研究了Ｋｏｃｈ曲线的Ｈａｕｓｄｏｒｆ测度的上、下界的估计，得到两个结论．其一，考虑了一种部分覆盖，利用这个覆　盖计算出了Ｋｏｃｈ曲线的Ｈａｕｓｄ。ｒｆｆ￣ｌ度的一个新的上界估计值　（Ｋ）≤篙　×（　）一ｏ．５８７８４７２９３．其二，导出一个估　计式　（Ｖ）≤１．８８　ｌ　Ｉ　，并结合质量分布原理得到了Ｋｏｃｈ曲线的Ｈａｕｓｄｏｒｆ测度的一个更好的下界估计值日’（　）　≥０．５３１９１４８９３．　关键词：Ｋｏｃｈ曲线；Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ测度；估计　中圈分类号：０　１７４．１　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７１—６１３２（２０１０）１２—００２５—０２　０　引言　此集合为（　）一Ｋ。ｃｈ曲线，记作（　）一Ｋ，由Ｈａｕｓ・　研究分形集的中心任务是计算或估计分形集　的Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ维数与Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ测度，不论是Ｈａｕｓ—　ｄ。ｒｆ测度的齐次性知　（（　）一　）＝　（Ｋ）．　ｄｏｒｆｆ维数还是Ｈａｕｓｄｏｒｆ测度的计算或估计都十分　Ｋｏｃｈ曲线Ｋ是满足开集条件的自相似集，它的　困难，尤其是Ｈａｕｓｄｏｒｆ测度的估计．在已有的文献　Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ维数　５＝ｌｏｇ３４．　中，关于Ｋｏｃｈ曲线最好的上界估值是文献［１］中　作者通过部分估计法　所得到的　（Ｋ）≤　——　／＼　八　八　０．５８７８４７２９３．关于Ｋｏｃｈ曲线　的下界估计的结果　不多，文献［３］中作者通过质量分布原理得到了一　引理１．１　设Ｕｃ　Ｒ　为可测集，Ｉ　ｌ＞０，Ｆ　个下界估值　（Ｋ）≥０．５３１９１４８９３．本文在已有的　是满足开集条件的自相似集，则　构造覆盖的方法的基础上作适当的改变得到新的　（ＦｎＵ）≤Ｉ　ｌ　．　覆盖，利用这个覆盖得到较好的上界估值；利用质　量分布原理改进现有的关于Ｋｏｃｈ曲线的Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ　２　主要结果　测度的下界估值．　’　２．１　Ｋｏｃｈ曲线的Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ测度的上界估计　１　预备知识　文献［１］中给出了Ｋｏｃｈ曲线的Ｈａｕｓｄｏｒｆ测度　的上界估计　（　）≤０．５８７８４７２９３．在文献［１］的　定义１．１［４１　设　是单位线段［０，１］，将　基础上给出一个改进的上界．　三等分，以中间的１／３线段拱出一个正三角形的两　笔者通过改变覆盖　进一步改进Ｋｏｃｈ曲线　边得到一条由４个长度为１／３的边组成的折线，记　的Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ测度上界估计值，得到了下面的定理．　为墨．对　的每一个边重复这个作法得到一条４。　个长度为１／３　的边组成的折线，记为　．如此下去得　定理２．１　）≤　×ｆ　）　醇　到一个折线序列　，　，…，　，…定义Ｋ＝　一０．５８７８４７２９３．　ｎ　Ｕ　为Ｋｏｃｈ曲线（如图１）．Ｋ　（ｎ≥１）是由４“个长度为　证明如图２，Ａ，Ｅ，０，Ｅ　，Ａ　为　中的折线　１／３“的边组成的折线，对Ｋ　的每一个边进行上述　点，曰，Ｄ，Ｆ为　中的折线点．在属于　的边ＦＢ　作法可得与Ｋ几何相似的集合，相似比为１／３　，称　上衍生属于　的正２ＸＨＩＧ，再在属于　的边ＧＢ　上衍生属于　的正ＡＭＪＬ（见图３），记九边形块　收藕日期：２０１０一Ｏ５—１２　作者简介：时金金（１９８７一），女，河南新乡人，主要从事分形几何研究．　・２６・　南阳师范学院学报　第９卷　ＪＬＤＥＯＥ　Ｄ　Ｌ～Ｊ为￡，，其中Ｅ　，Ｄ　，Ｊ　分别是Ｅ，Ｄ，Ｊ　关于ＯＮ的对称点．　０　Ｎ　图２　图３　可计算出ＩＡ引＝　２　ＩＡ０ｌ＝２／３　，ＩＡＥＩ＿，ＩＸ／３　，　ＩＡＦＩ：　ＩＡＢｌ：√＿／３　，ｌ　Ｉ：ＪＦＧｌ＋Ｉ　Ｉ：８　，　Ｉ朋Ｉ＝Ｉ　Ｉ—ＩＡＦＩ＝　３　，Ｉ舾Ｉ＝　１４Ｉ　ｌ＝　／３　，　ＩＤＥ　Ｉ＝　丽　＝￣／－８ｆｆ６／３　，Ｉ　ＪＥ　Ｉ＝　ｖ／Ｔ　＝　俪／３　＜ＩＤＥ　Ｉ，　＝￣－７０ｆｇ－ｆ／３　＜ＩＤＥ　Ｉ，故Ｕ的直径为Ｉ　ＵＩ＝ＩＤＥ　Ｉ　＝　／３　．Ｋ６　ｎ　ｕ共有属于　的６×４　＋６　Ｘ　４　＋２×４　＋２×２＝１９５６个边，故Ｋ　ｎ　ｕ由１９５６个　（　）　生成，从而有　ｃＫＮ　Ｕ）＝，９５６　（（　＝　１９５６　由引理１．１知　６　Ａ６　日　（Ｋ）　日’（Ｋｎ　ｕ）≤　。ＵＩ　＝　×（　卜０．５８７８４７２９３．　由此得到的上界比修正后的文献［１］的上界　更小，改进了Ｋｏｃｈ曲线的Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ测度的上界　估值．　２．２　Ｋｏｃｈ曲线的Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ测度的下界估计　受文献［３］的启发，笔者采用文献［３］的方法导　出关于Ｋｏｃｈ曲线的一个关系式　（　）≤１．８８Ｉ　Ｉ　，　在此基础上利用质量分布原理得到了Ｋｏｃｈ曲线　的Ｈａｕｓｄｏｒｆ测度下界估计值的一个改进结　果　（Ｋ）≥０．５３１９１４８９３．　定义２．１　设分布函数　满足　（　）＝１，　（（　）一　）＝砉，／ｚ（　一　）－ｕ０　．ｎ＝１，２，…则肛　是　上的一个测度，肛限制在　上为Ｋ上的一个　质量分布．　定理２．２　对Ｋ的任意覆盖　有　（　）≤　１．８８Ｉ　Ｉ　，　（１）　其中ＩＶＩ＝ｍａｘ｛Ｉ　—ＹＩ：　，ＹＥ　Ｖ｝．　证明过程可参考文献［３］，在文献［３］的证明　过程中，笔者证实了将　（　）≤１．８９　Ｉ　Ｉ。中的１．８９　降为１．８８时仍然成立，从而得到了（１）．　利用质量分布原理　可得Ｋｏｃｈ曲线的Ｈａｕｓ．　１　１Ｊｄｏｒｆ测度的一个下界估值．　定理２・３∥（　）≥ｒ　０・５３１９１４８９３・　３　结论　本文改进了文献［１，３］的结果，得到Ｋｏｃｈ曲线的　Ｈａｕｓｄｏｒｆ测度应在［０．５３１９１４８９３，０．５８７８４７２９３］这个　范围内取值，这是目前关于Ｋｏｃｈ曲线的Ｈａｕｓｄｏｒｆ　测度的最小的范围．在已有的文献中关于经典分形　集的ＨａｕｓｄＯｒｆ测度的下界估计值的结果都很少，　在以后的研究中不妨着重考虑下界的估计，尽可能　缩小Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ测度的范围．　参　考　文　献　宋寿柏，谢明勤．Ｋｏｃｈ曲线的Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ测度［Ｊ］．安　徽师范大学学报，１９９９，２２（３）：１９８—１９９．　Ｚｈｏｕ　Ｚｕｏｌｉｎｇ．Ｔｈｅ　Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ　ｍｅａｓｕｒｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｅｌｆ－ｓｉｍｉｌａｒ　ｓｅｔｓ—Ｔｈｅ　Ｋｏｃｈ　ｃｕｒｖｅ［Ｊ］．Ｓｃｉｅｎｃｅ　ｉｎ　Ｃｈｉｎａ：Ｓｅｒｉｅｓ　Ａ，　１９９８，４ｌ（７）：７２３—７２８．　崔振文，王彩芬，杨永琴．Ｋｏｃｈ曲线的Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ测度　的下界估计［Ｊ］．河南师范大学学报：自然科学版，　２００２，３０（３）：５—７．　孙博文．分形算法与程序设计——Ｄｅｌｐｈｉ实现［Ｍ］．　北京：科学出版社，２００４：２—４．　Ｋｅｎｎｅｔｈ　Ｆａｌｃｏｎｅｒ．分形几何——数学基础及其应用　［Ｍ］．２版．曾文曲，译．北京：人民邮电出版社，２００７：　５６，１１９．　陈尔明，堵秀凤．Ｋｏｃｈ曲线的Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ测度的估计　［Ｊ］．数学研究，１９９９，３２（３）：３２４—３２６．　周作领．自相似集的Ｈａｕｓｄｏｒｆ测度［Ｊ］．中国科学，　１９９８，２８（２）：１０３—１０７．　２］第９卷第ｌ２期　２０１０年１２月　南阳师范学院学报　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｎａｎｙａｎｇ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｖｏ１．９　Ｎｏ．１２　Ｄｅｃ．２０１０　三类高校学报生态位构建适宜度研究　卢　蕊　，束永祥　（１．镇江高等专科学校学报编辑部，江苏镇江２１２００３；２．镇江高等专科学校教师教育系，江苏丹阳２１２３００）　摘要：以三类高校学报为研究对象，构建高校学报生态位适宜度的数学模型，计算三类高校学报生态位适宜度，表征　三类高校学报对其生境的适应性程度．　关键词：高校学报；生态位构建；适宜度模型；适宜度值　中圈分类号：Ｏ　２９　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７１—６１３２（２０１０）１２—００２７—０４　生态位理论是现代生态学的核心内容之一．自　Ｊ．Ｇｒｉｎｎｅｌｌ（１９１７）首次提出生态位这一重要概念　以来，人们越来越重视生态位的相关研究．近年来，　不少研究者开始专注于物种生态位构建理论与进　化动力学模式的研究　．高校学报在与其所处的　生态环境的相互作用中，确定了自身的生态位，通　过生态位构建，不断调整、优化自身的生态位，可以　使高校学报具有长期发展的潜能和优势．　的各种生态因子所形成的梯度上的位置．高校学报　生态位构建是指高校学报在其生存、发展过程中，　改变或修复自身环境的一种生态学现象，即高校学　报通过自身的活动和选择，部分地创建或毁灭其自　身的生态位的过程，其实质是“高校学报对其环境　中自然选择源的改变”　．高校学报生态位构建能　力对其生态序有一定的影响　．　以经典的生态位理论为基础，探究高校学报生　态位构建机理，建立高校学报生态位构建适宜度数　学模型，用数学模型描述高校学报的生态位需　求　，表征高校学报的现实资源位点与最适资源　位点的贴近程度，分析高校学报的适应性，不仅具　有生态学理论意义，而且具有增强高校学报竞争　１　高校学报生态位构建　高校学报生态位是高校学报对资源和环境的　选择范围所构成的集合．它既反映了高校学报所占　据的空间位置，也反映了高校学报在其生态环境中　Ｔｈｅ　ｉｍｐｒｏｖｅｍｅｎｔ　ｏｎ　ｔｈｅ　Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ　ｍｅａｓｕｒｅ　ｏｆ　Ｋｏｃｈ　ｃｕｒｖｅ　ＳＨＩ　Ｊｉｎ—ｊｉｎ，ＣＨＥＮＧ　Ｚｈｉ—ｊｕｎ　（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｘｉ’ａｎ　Ｉｎｎｏｖａｔｉｏｎ　Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｙａｎ’ａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｉ’０ｎ　７１０１００，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，ｔｈｅ　ｌｏｗｅｒ　ｂｏｕｎｄ　ａｎｄ　ｕｐｐｅｒ　ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｈａｕｓｄｏｆｆｆ　ｍｅａｓｕｒｅ　ａｂｏｕｔ　ｔｈｅ　Ｋｏｃｈ　ｃｕｒｖｅ　ｉｓ　ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄ．Ｓｏｍｅ　ｎｅｗ　ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎｓ　ａｒｅ　ｏｂｔａｉｎｅｄ　ａｓ　ｆｏｌｌｏｗｓ．Ｔｈｅ　ｆｉｒｓｔ，ｓｏｍｅ　ｐａｒｔ—ｃｏｖｅｒａｇｅ　ｗａｓ　ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ．Ｕｓｉｎｇ　ｔｈｉ…ｖｅｒａ　…ｗ　ｕｐｐｅｒｂ…ｄｅｓｔｉｍａｒｉｏｎ　ｖａｌｕｅ　ｏｆ　ｔｈｅＫ０ｃｈ　ｃｕｖｒｅ　（　ｉｓ　ｏｂｔａｉｎｅｄ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：Ｋｏｃｈ　ｃｕｒｖｅ；Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ　ｍｅａｓｕｒｅ；ｅｓｔｉｍａｔｅ　×（竽）≈０．５８７８４７２９３　ｉｓ　ｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｏｎ　ｔｈｅ　ｏｔｈｅｒ　ｈａｎｄ，ｗｅ　ｄｅｒｉｖｅｄ　ｔｈｅ　ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ　（　）≤１．８８　Ｉ　ＶＩ　．Ｕｓｉｎｇ　ｔｈｉｓ　ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｍａｓｓ　ｄｉｓｔｉｒｂｕｔｉｏｎ　ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ，ａ　ｂｅｔｔｅｒ　ｌｏｗｅｒ　ｂｏｕｎｄ　ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ　ｖａｌｕｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｋｏｃｈ　ｃｕｒｖｅ　Ｈ　（Ｋ）≥０．５３１９１４８９３　收稿日期：２０１０—１０—０９　基金项目：２００９年度全国高职高专学报编辑学研究重点资助项目（ｇｚｂｙ２００９０２）；江苏省“青蓝工程”资助（苏教师［２００７］第２号）　作者简介：卢蕊（１９７１一），女，河南新乡人，讲师，硕士，主要从事数学教育研究和编辑学研究．